Il modello di pricing delle opzioni più famoso e più generale è stato elaborato agli inizi degli anni settanta da Fisher Black e Myron Scholes (1973). In origine questo modello è stato sviluppato per prezzare le opzioni finanziarie di tipo Europeo (che cioè non possono essere liquidate prima della scadenza) e dalla prima versione ha contribuito e influenzato tutti i modelli di pricing successivi. Un importante contributo allo sviluppo definito del modello di Black e Scholes va senza dubbio a Merton che sulla base della versione del 1973 ha apportato modifiche e miglioramenti.
Nel modello di Black & Scholes, come nel modello binomiale, l’ipotesi di base è quella della possibilità di creare un portafoglio equivalente all’opzione, costituito in parte da unità del sottostante e in parte da obbligazioni prive di rischio. La differenza principale rispetto al modello binomiale è che in questo caso l’ipotesi prevede che i rendimenti siano distribuiti tra infiniti stati della natura secondo una legge statistica normale. Il modello di Black e Scholes rappresenta il limite nel continuo del modello binomiale (che è discreto).
Il modello di Black e Scholes permette di definire e valutare una opzione a partire dalla conoscenza di sei variabili fondamentali che sono:
S = Valore dell’attività sottostante
K= prezzo "strike" dell’opzione
t = scadenza dell’opzione
r= tasso d’interesse privo di rischio corrispondente alla vita dell’opzione
= volatilità del sottostante
Dati questi valori, Black e Scholes dimostrano che, in presenza di un processo stocastico Browniano di tipo geometrico (il processo stocastico che corrisponde all’ipotesi di lognormalità delle distribuzioni istantanee della variabile di riferimento), si ottiene il seguente risultato:
Valore della opzione call
con:


N rappresenta una distribuzione normale standardizzata, vale a dire una distribuzione normale che ha media pari a 0 e deviazione standard pari a 1.
Il metodo di Black e Scholes (B&S) si basa sull’idea del portafoglio replicante. Poiché in un mercato efficiente non vi sono possibilità di arbitraggio, questo portafoglio deve avere lo stesso valore dell’opzione dato da una combinazione di attività di credito e di debito e del sottostante priva di rischio.
Il primo termine dell’equazione si può interpretare come il valore delle azioni da comprare mentre il secondo termine come quello delle obbligazioni da emettere. Il valore dell’opzione esprime quindi, la differenza tra un determinato valore di attività sottostante e il valore attuale dell’indebitamento .
, il numero di quote del sottostante per creare il portafogli replica viene chiamato il delta di opzione. I valori e denotano le probabilità che l’opzione venga a scadenza con un valore del sottostante maggiore del valore dello strike (ossia "in the money" come si dice in gergo finanziario). Si noti, che, come nel modello binomiale, queste probabilità sono "pseudoprobabilità" e non corrispondono alle probabilità effettive eccetto che nell’ipotesi particolare in cui gli operatori siano neutrali rispetto al rischio. Analogamente al valore della call europea, si può ricavare il valore della opzione Europea che è pari a

Il modello di Black e Scholes ipotizza: che l' andamento dei prezzi dell' attività sottostante può essere approssimato da un processo log-normale; che esiste un mercato perfettamente efficiente e senza frizioni (compresa l' assenza di tasse e di costi di transazione); che il tasso di interesse del mercato sia lo stesso per impieghi e prestiti e sia costante durante il periodo di durata dell' opzione; che la varianza del sottostante sia costante per il periodo di durata della opzione. Se il mercato risponde a queste caratteristiche, il modello in esame offre una base rigorosa per calcolare il valore e le caratteristiche di rischio di una osizione in opzioni. Il fattore fondamentale per tale calcolo è costituito dalle variazioni del prezzo del titolo. La sensitività del valore di una opzione rispetto al fattore prezzo è indicata dal coefficiente delta (derivata prima di C rispetto a S) che misura il rapporto tra le variazioni di C e quelle di S in costanza degli altri fattori. Il coefficiente delta consente di stimare l' impatto sul valore calcolato ex ante C di una data variazione del prezzo dell' attività sottostante (variazione di C = delta * variazione di S). Matematicamente, il delta si ricava dalla formula di Black e Scholes: delta = N(d¹ ). Il delta di una call varia in un intervallo compreso tra 0 e 1. Il suo valore è minimo quando S è molto inferiore a K e la scadenza dell' opzione è prossima. In tal caso, la probabilità di aumenti di prezzo tali da portare in the money l' opzione call alla scadenza è molto remota: il mercato si attende che l' opzione scada senza valore e pertanto il legame con il prezzo del titolo è molto debole. Il delta tende all' unità per prezzi (S) molto superiori a K, in quanto è molto probabile che l' opzione venga esercitata. Altri coefficienti derivabili dalla formula di Black and Scholes sono gamma, theta, vega e rho (q.v.) che misurano, rispettivamente, la sensitività: di delta a piccoli cambiamenti di prezzo dell' azione; del valore dell' opzione a piccoli cambiamenti del tempo fino alla scadenza; del valore dell' opzione a piccoli cambiamenti della volatilità: del valore dell' opzione al variare del tasso di interesse. Opzioni put. Nelle opzioni put di tipo europeo il prezzo teorico P è dato dalla formula ? = Ke ¯ rt N(-d²)-SN -(d¹).
Il delta risulta allora pari al complemento a 1 del delta di un' opzione call stipulata in eguali condizioni, vale a dire è : =|N(d¹) - 1|
Adattamenti della formula di Black and Scholes. La teoria finanziaria ha apportato diversi perfezionamenti della formula di Black and Scholes. Nel 1973 Robert Merton ha allentato l' assunto della non-distribuzione di dividendi nel periodo di esercizio dell' opzione. Nel 1976 Jonathan Ingerson ha allentato il vincolo dell' assenza di tasse e di costi di transazione e Rober erton ha rimosso il vincolo di un tasso di interesse costante. Sono stati anche elaborati diversi adattamenti per estendere la formula alle opzioni su valute, obbligazioni, futures e opzioni su tassi di interesse (caps; floors ecc.). Degli adattamenti empirici sono stati anche fatti per valutare le opzioni americane (che al contrario di quelle europee danno al detentore la facoltà di esercizio anticipato rispetto alla scadenza). Applicazioni alla valutazione dei rischi di mercato. Delta è una misura della sensitività del valore calcolato dell' opzione a piccole variazioni del prezzo dell' azione ed è quindi un indice del rischio di posizione. Il delta è il coefficiente impiegato per il calcolo dei requisiti patrimoniali per i rischi di mercato pendenti sulle opzioni, secondo uno (metodo delta-plus) dei tre procedimenti prescritti dalla Banca d' Italia. La formula di Black and Scholes è uno dei metodi prescrittidalla Banca d' Italia per il calcolo del delta (v. Istruzioni di vigilanza, Tit. IV, Cap. 3, Sez. IX, e Allegato D).

Bibliografia
BLACK F. e SCHOLES M. (1973), "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", in Journal of Political Economy, 81 (May-June), 1973, pp. 637-659.
HULL  J.C. (1997), Options, Futures and Other Derivative Securities, Prentice Hall International; trad. it. a cura di Emilio Barone, Il Sole 24 Ore Libri, Milano.
MERTON  R. (1973), Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1), 141-183
PENNISI G. e SCANDIZZO P. L. (2006) "Economic Evaluation in an Age of Uncertainty", Evaluation, Vol. 12, n.1, pp. 77-94.
PENNISI G. e SCANDIZZO P. L. (2003) " Valutare l’incertezza: l’analisi costi benefici nel XXI secolo"     G. Giappichelli Editore.

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