MODELLO BINOMINALE (Enciclopedia)

Il modello Binomiale proposto in una prima versione da Cox, Ross e Rubinstein nel 1979 in "Option pricing a simplified approach", rivisto e completato da Cox e Rubinstein nel 1985 in "Option Market", è uno dei metodi più efficaci per stimare il valore di opzione. Questo modello si basa su un’impostazione discreta, nella quale il tempo che manca alla scadenza dell'opzione viene diviso in periodi, all'interno dei quali il prezzo del titolo sottostante può assumere solo due valori alternativi, uno favorevole (che corrisponde a un moltiplicatore identificato con la lettera u da up o sopra) e uno sfavorevole (corrispondente a un de-moltiplicatore identificato con la lettera d da down o sotto). La logica del modello è simile a quella adottata da Black e Scholes (B&S) con la differenza che il modello binomiale è costruito nel discreto.
Si assume che il prezzo dell’attività sottostante l’opzione (indicato con S) si evolva secondo un processo binomiale moltiplicativo stazionario, del tipo descritto in figura 1.
                                                                     
La figura mostra come il prezzo del sottostante possa assumere solo due possibili valori:
Su > S
Sd con u >1 e d <1.
Se su questo sottostante viene emessa una opzione, per esempio una call europea, con prezzo (C) e durata (T), possiamo descrivere il processo con lo schema grafico della figura 2:
                                                               
che mostra come (C) vari al variare di (S), e possa assumere valore pari a (Cu) >C e valore (Cd)                        
                                                                             
Si supponga ora di comporre un portafoglio acquistando azioni ed emettendo obbligazioni prive di rischio (ossia acquisendo prestiti a tasso d’interesse fisso e senza rischio), il cui pay off replichi esattamente il pay off dell’opzione. In particolare, se si definiscono le seguenti grandezze:
Q = quota di azioni in portafoglio
D = quota di obbligazioni in portafoglio
R = tasso d’interesse privo di rischio
i = 1+r = costo dell’indebitamento
Si può utilizzare un albero binomiale, ad uno stadio, per descrivere l’evoluzione del valore del suddetto portafoglio:
                                                        
data l’ipotesi di replicabilità1, il valore iniziale dell’opzione è pari al valore iniziale del portafoglio, di conseguenza:
C = Q*S+D
con i payoff
Qu*S+iD = Cu
Qd*S+iD = Cd
Risolvendo il sistema di equazioni così ottenuto, si possono derivare le quote Q di azioni e D di obbligazioni che permettono di ottenere un portafoglio con lo stesso comportamento stocastico dell’opzione:
Q = (Cu - Cd)i / [(u - d)S]
D = (uCd - dCu) / [(u - d)]
Sostituendo opportunamente nelle equazioni sopracitate e risolvendo per C=QS+D si può ricavare il valore di opzione C:
C = [pCu + (1-p)Cd]/i 
con
p = (1 – d) / (u –d).
Il peso p non rappresenta una probabilità vera e propria, perché esso non è stato specificato a priori, ma è il risultato della composizione del portafoglio replicante e dell’ipotesi di uguaglianza tra il valore del portafoglio stesso e quello dell’opzione considerata. Si può definire p come una "pseudoprobabilità", ossia un peso che corrisponde a una probabilità effettiva solo nel caso in cui l’opzione sia valutata da osservatori neutrali rispetto al rischio. 
L’espressione C = [pCu + (1-p)Cd]/i può essere generalizzata mettendo in relazione i due moltiplicatori con la varianza di un processo stocastico browniano, secondo l’espressione: 


dove:
                                                                            
e = numero di Nepero
= volatilità
t = durata dell’opzione.
In questo modo il processo binomiale descritto viene considerato come limite di un processo continuo, in cui l’evento favorevole e quello sfavorevole dipendono dalla varianza istantanea del processo stesso e dalla scadenza. L’espressione della pseudoprobabilità quindi diventa:
                                                                                    
Di conseguenza, dalla espressione di definizione del valore di opzione risulta evidente una proprietà fondamentale del valore di opzione che consiste nel fatto che in un mercato efficiente esso dipende solo da cinque fattori: il valore del sottostante, il tasso di interesse, il prezzo d’esercizio, la durata (scadenza dell’opzione) e la volatilità del sottostante.
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1Replicabilità: il portafoglio deve essere interamente replicabile con attività acquistabili interamente sul mercato
Bibliografia
J. C. Cox, S. A. Ross and M. Rubinstein, Option Pricing: a Simplified Approach, Journal of Financial Economics, 7 (1979), pp. 229-263.
J. C. Cox and M. Rubinstein, Option Markets, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1985.
Pennisi, G. and Scandizzo, P.L. (2006) "Economic Evaluation in an Age of Uncertainty", Evaluation, Vol. 12, n.1, pp. 77-94.
Pennisi, G. e Scandizzo, P.L. (2003) " Valutare l’incertezza: l’analisi costi benefici nel XXI secolo" G. Giappichelli Editore.

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